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設函數f(x)≥0，且對任意實數x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，求證：f(nx)=n2f(x)。

 

答案：
解析：

(1)當n=1時，左邊=1·21=2，右邊=2·1=2，∴等式成立；

(2)設n=k時等式成立，即1·3·5……(2k－1)·2k=(2k)(2k－1)(2k－2)……(k+1)，(k∈N)，

則當n=k+1時，

1·3·5……(2k－1)·(2k+1)·2k+1=[1·3·5…(2k－1)·2k]·(2k+1)·2

=[(2k)(2k－1)(2k－2)…(k+2)(k+1)]·(2k+1)·2

=(2k+2)(2k+1)·2k·(2k－1)·(2k－2)…(k+1)

    ∴n=k+1時等式成立。

  由(1)、(2)可知，對一切n∈N，等式成立。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知R為實數集，Q為有理數集．設函數f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　　）
A、函數y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B、
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C、函數f[f（x）]恒等于0
D、函數f[f（x）]的導函數恒等于0

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
0，(x＜0)
x，(0≤x＜1)
-x2+4x-2(1≤x＜3)
4-x，(x≥3)

（Ⅰ）在x=0，x=3處函數f（x）是否連續；
（Ⅱ）畫出函數的圖象；
（Ⅲ）求函數f（x）的連續區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文）已知R為實數集，Q為有理數集．設函數f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q).
則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=(0≤x＜1)的反函數為f-1(x),則…(    )

A.f-1(x)在其定義域上是增函數且最大值為1

B.f-1(x)在其定義域上是減函數且最小值為0

C.f-1(x)在其定義域上是減函數且最大值為1

D.f-1(x)在其定義域上是增函數且最小值為0

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知R為實數集，Q為有理數集．設函數f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　　）
A．函數y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B．
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C．函數f[f（x）]恒等于0
D．函數f[f（x）]的導函數恒等于0

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