Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若 

m

=(1-

2c

b

，tanA)，

n

=(1，

1

tanB

)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，設角B的大小為x，△ABC的周長為y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量垂直的性質可得

m

•

n

=0，由此可得cosA=

1

2

，從而求得角A的值．
（Ⅱ）由條件利用正弦定理可得b=2sinx，c=2sin(

2π

3

-x) 可得 y=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

．再根據x的范圍求出y的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 由題意可得

m

•

n

=1-

2c

b

+

tanA

tanB

=1-

2sinC

sinB

+

sinAcosB

cosAsinB

=

cosAsinB-2sinCcosA+sinAcosB

cosAsinB

=

sin(A+B)-2sinCcosA

cosAsinB

=

sinC-2sinCcosA

cosAsinB

=0．
∴sinC-2sinCcosA=0，
∴cosA=

1

2

，
∴△ABC中，A=

π

3

． …（6分）
（Ⅱ）由a=

3

，角B的大小為x，A=

π

3

及正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

=

3

sin  π 3

=2，可得b=2sinx，c=2sin(

2π

3

-x)，
∴三角形的周長 y=2sinx+2sin（

2π

3

-x）+

3

=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

．
由于0＜x＜

2π

3

，∴x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴當 x+

π

6

=

π

2

，即 x=

π

3

 時，y_max=3

3

．           …（12分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，兩個向量垂直的性質，屬于中檔題．