Question

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點的球面距離分別是

π

2

，

π

2

，

π

3

，則OB與平面ABC所成的角是（　　）

• A．arcsin

  21

  7

• B．arcsin

  2 7

  7

• C．arccos

  7

  7

• D．arccos

  21

  7

Answer 1

分析：由題意，球的半徑為1，根據(jù)A與B、A與C，B與C兩點的球面距離分別是

π

2

，

π

2

，

π

3

，可得∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∠BOC=

π

2

，

π

3

，從而可求AB=AC=

2

，BC=1，可求VA-OBC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

，利用等體積法求出O到平面ABC的距離，即可求得結論．

解答：解：由題意，∵球O的表面積為4π，
∴球的半徑為1，
∵A與B、A與C，B與C兩點的球面距離分別是

π

2

，

π

2

，

π

3

，
∴∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∠BOC=

π

3

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=

2

，BC=1．
∴VA-OBC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

設h為O到平面ABC的距離，則
∵S_△ABC=

1

2

×1×

2- 1 4

=

7

4

∴VA-OBC=VO-ABC=

1

3

×

7

4

h=

3

12

∴h=

21

7

∴OA與平面ABC所成角的正弦值為

21

7

∴OB與平面ABC所成的角是arcsin

21

7

故選A．

點評：本題考查線面角，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是利用等體積求出點到面的距離，屬于中檔題．