Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）45°（3）

【解析】

(1)由線面垂直的性質可得，結合，可得平面，由等腰三角形的性質可得，從而可得結果；(2) 先證明平面，可得為和平面所成的角，判斷是等腰直角三角形，從而可得結果；（3）過點作，垂足為，連接，由(1)知，平面，則在平面內的射影是，則可證得，則是二面角的平面角，設，可求得，由直角三角形的性質可得結果.

(1)因為PA⊥底面ABCD

CD平面ABCD，故CD⊥PA.

因為CD⊥AC，PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC.

又AE平面PAC，所以AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，

所以AE⊥平面PCD.

(2)因為PA⊥底面ABCD，

AB平面ABCD，故PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

所以AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD內的射影為PA，從而∠APB為PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，

故∠APB＝45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.

(3)過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示．

由(1)知，AE⊥平面PCD，則AM在平面PCD內的射影是EM，則可證得AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角．由已知可得∠CAD＝30°.

設AC＝a，

可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.

在Rt△ADP中，

因為AM⊥PD，

所以AM·PD＝PA·AD，

則AM＝＝a.

在Rt△AEM中，

sin∠AME＝＝.

所以二面角A－PD－C的正弦值為.