Question

f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N且n≥2），
（1）計算x₂，x₃，x₄的值；
（2）并猜想x_n（n∈N₊）的值；
（3）用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用函數解析式，代入計算，可得結論；
（2）由（1）猜想結論；
（3）利用數學歸納法的證明步驟，證明即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=

2

3

，x₃=

2

4

=

1

2

，x₄=

2

5

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

（n∈N₊）              （*）      
（3）①當n=1時，x₁=1=

2

1+1

，（*）成立；        
②假設n=k時（*）成立，即x_k=

2

k+1

當n=k+1時，x_k+1=f（x_k）=

2xk

xk+2

=

2× 2 k+1

2 k+1 +2

=

2

(k+1)+1

即當n=k+1時，（*）成立      
根據①和②，可知對任何n∈N₊（*）都成立．

點評：本題考查函數與數列的結合，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．