Question

（2012•寶雞模擬）已知點M（x_k，x_k+1）在函數(shù)f(x)=

2x

x+2

的圖象上，且x_k≠0，x₁=1，數(shù)列{a_n}滿足：ak=

1

xk

，(k，n∈N+)．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=7-2a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)M（x_k，x_k+1）在函數(shù)f(x)=

2x

x+2

的圖象上，可得xk+1=

2xk

xk+2

，取倒數(shù)，結(jié)合ak=

1

xk

，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=7-2a_n=6-n，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)n≤6時，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；當(dāng)n＞6時，Tn=15-

(n-6)(-1+6-n)

2

=

n2-11n+60

2

，從而可求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵M(jìn)（x_k，x_k+1）在函數(shù)f(x)=

2x

x+2

的圖象上
∴xk+1=

2xk

xk+2

∴

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

∵ak=

1

xk

∴ak+1=ak+

1

2

∵x₁=1，∴a₁=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列
∴an=

1

2

n+

1

2

（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=7-2a_n=6-n
∴當(dāng)n≤6時，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
當(dāng)n＞6時，Tn=15-

(n-6)(-1+6-n)

2

=

n2-11n+60

2

∴數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查等差數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列為等差數(shù)列，從而正確運用公式．