Question

設x，y滿足條件

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

．
（1）求z=-x+y的最大值和最小值；
（2）求u=x²+y²的最大值與最小值．

Answer 1

分析：作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義分別進行求解即可．

解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
（1）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率為1縱截距為Z的一組平行直線，
平移直線y=x+z，當直線y=x+z經過點C時，直線y=x+z的截距最小，此時z最小，
當直線經過點A或B時，此時直線y=x+z截距最大，z也最大．
畫出直線y=x
由

x=3 x+y=0

，解得

x=3 y=-3

，即C（3，-3），此時z_min=-3-3=-6．
由

x=3 x-y+5=0

，解得

x=3 y=8

，即B（3，8），此時z_max=-3+8=5．
（2）u=x²+y²表示區域內的點P（x，y）到（0，0）的距離的平方
由圖知，當P位于原點時，u最小值為0，
當點P位于點B（3，8）時，
u取得最大值u=9+64=73．

點評：本題主要考查線性規劃的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規劃問題的關鍵，注意利用數形結合來解決．