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用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=x+
1x
在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù).
分析:任取區(qū)間[1,+∞)上兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,且a<b,判斷f(a)-f(b)的符號,進(jìn)而得到f(a),f(b)的大小,根據(jù)單調(diào)性的定義即可得到答案.
解答:證明:任取區(qū)間[1,+∞)上兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,且a<b
則a-b<0,ab>1,ab-1>0
則f(a)-f(b)=(a+
1
a
)-(b+
1
b

=a-b+
1
a
-
1
b
=a-b+
b-a
ab

=(a-b)(1-
1
ab
)=
(a-b)(ab-1)
ab
<0
即f(a)<f(b)
故函數(shù)f(x)=x+
1
x
在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,利用定義法(作差法)證明單調(diào)性的步驟是:設(shè)元→作差→分解→斷號→結(jié)論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)設(shè)f(x)=
x+2(x≤-1)
x2(-1<x<2)
2x(x≥2)

(1)在如圖直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象;
(2)若f(t)=3,求t值;
(3)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在[2,+∞)時(shí)單調(diào)遞增.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=2x+
8
x
-3,x∈(0,+∞)上的最小值,并確定取得最小值時(shí)x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 14 7 5.34 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14
(1)觀察表中y值隨x值變化趨勢特點(diǎn),請你直接寫出函數(shù)f(x)=2x+
8
x
-3,x∈(0,+∞)的單調(diào)區(qū)間,并指出當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)的最小值為多少;
(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=2x+
8
x
-3在(0,2)上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-
1
x

(1)求f(x)的定義域;
(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=x-
1
x
在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
x+b1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù).

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