Question

已知函數f(x)=x-

1

x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）用單調性定義證明函數f(x)=x-

1

x

在（0，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析：（1）根據分式函數有意義分母不為0建立關系，即可求出函數的定義域；
（2）在（0，+∞）內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據函數單調性的定義進行判定即可．

解答：解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}
（2）在（0，+∞）內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＞0
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴x₁x₂＞0
∴1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x-

1

x

在（0，+∞）上單調遞增．

點評：本題主要考查了函數的定義域，同時考查了利用定義法證明函數的單調性，屬于中檔題．