Question

（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．1

 

Answer 1

【答案】

（1）直線與平面所成角的正弦值為．

（3）點滿足時，有// 平面．

【解析】本試題主要是考查了空間幾何中點，線，面的位置關系的運用。

（1）因為平面平面，且

所以BC⊥平面，則即為直線與平面所成的角

（1）假設存在點，且時，有// 平面，建立直角坐標系來證明。

解：（1）證明：取中點，連結，．

因為，所以．                           

因為四邊形為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．  

所以平面．    所以 ．           4分

（2）解法1：因為平面平面，且

所以BC⊥平面

則即為直線與平面所成的角

設1C=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，

即直線與平面所成角的正弦值為．               8分

解法2：因為平面平面，且，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，

則．

所以，平面的一個法向量為．

設直線與平面所成的角為，

所以，           

即直線與平面所成角的正弦值為．       8分

（3）解：存在點，且時，有// 平面．       

證明如下：由，，所以．

設平面的法向量為，則有

所以  取，得．

因為，且平面，所以// 平面．

即點滿足時，有// 平面．               12分

考點：空間中線面角的求解，以及線面平行

點評：解決的關鍵是利用空間中的法向量來得到線面角的表示，以及平行的證明，屬于基礎題。