Question

設數列{b_n}滿足：b1=

1

2

，b_n+1=b_n²+b_n，
（1）求證：

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

；
（2）若T_n=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，對任意的正整數n，3T_n-log₂m-5＞0恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1））要證明

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，只要能證b_n+1=b_n（b_n+1），而 由已知：b_n+1=b_n²+b_n，推導即可
 （2）由（1）可求得

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，結合數列的特點考慮利用裂項求和，從而可得數列{b_n}是單調遞增數列，最后將恒成立問題轉化為最值問題求解即可

解答：解：（1）∵b1=

1

2

，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），
∴對任意正整數n＞0，有

1

bn+1

=

1

b n(b n+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

即：

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．…（4分）
（2）Tn=（

1

b 1

-

1

b 2

）+（

1

b 2

-

1

b 3

）+…+（

1

b n

-

1

b n+1

）=

1

b 1

-

1

b n+1

=2-

1

b n+1

．…（7分）
∵b _n+1-b_n=b_n²＞0，∴bn+1＞bn，∴數列{b_n}是單調遞增數列．
∴數列{Tn}關于n遞增．∴T_n≥T₁．…（10分）
∵b1=

1

2

，∴b2=b1(b1+1)=

3

4

∴T1=2-

1

b2

=

2

3

…（12分）
∴Tn≥

2

3

∵3T_n-log₂m-5＞0恒成立，∴log₂m＜3T_n-5恒成立，
∴log₂m＜-3…（14分）
∴0＜m＜

1

8

．…（16分）

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，數列求和中的裂項求和，屬于基本方法的應用．