Question

設(shè){a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，滿足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：bn-an=2n+1，n∈N^*，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，問是否存在正整數(shù)n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，且d≠0，利用S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，建立方程組，求出基本量，即可求得數(shù)列的通項；
（II）確定數(shù)列的通項，求出數(shù)列{b_n}的前n項和，進而可結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
∴

4a1+6d=8 (a1+d)2=a1(a1+4d)

解得

a1= 1 2 d=1

或

a1=2 d=0

（舍去）…（3分）
∴an=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

…（6分）
（II）由題知：bn=an+2n+1=n-

1

2

+2n+1，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+

n

2

(

1

2

+n-

1

2

)=

1

2

n2+2n+2-4 …（10分）
若T_n=2012，則

1

2

n2+2n+2-4=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）單調(diào)遞增，
當1≤n≤8時，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
當n≥9時，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整數(shù)n，使得T_n=2012成立． …（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查基本量法的運用，屬于中檔題．