Question

若n∈N，則6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16被8除所得的余數是

0或6

．

Answer 1

分析：由題意可得6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1，而7ⁿ=（8-1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ-C_n¹8^n-1+C_n²8^n-2+…C_n^n-1•8•（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ
則6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1（-1）ⁿ+…+C_n^n-18（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ-1，分n為偶數時，n為奇數兩種情況討論

解答：解：由題意可得6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1
7ⁿ=（8-1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ-C_n¹8^n-1+C_n²8^n-2+…C_n^n-1•8•（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ
則6ⁿ+C_n¹6^n-1+C_n²6^n-2+…+C_n^n-16=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1（-1）ⁿ+…+C_n^n-18（-1）^n-1+C_nⁿ（-1）ⁿ-1
當n為偶數時，余數為0
當n為奇數時余數為6
故答案為：0或6

點評：本題主要考查了二項展開式在整除問題中的應用，解題的關鍵是要能看到已知條件是（6+1）ⁿ=7ⁿ=（8-1）ⁿ的展開式的一部分