Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3a_n-1-4n+6（n≥2，n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n-2n，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_n-2n和a_n=3a_n-1-4n+6（n≥2，n∈N^*）通過構造和利用等比數列的定義可以證明{b_n}是等比數列
（2）利用（1）的結論求出{b_n}的通項，從而求得a_n，然后利用求和公式求數列{a_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）∵b_n=a_n-2n，即a_n=b_n+2n
∵a_n=3a_n-1-4n+6，
∴b_n+2n=3[b_n-1+2（n-1）]，
即b_n=3b_n-1
又b₁=a₁-2=-1≠0
所以數列{b_n}是以-1為首項，3為公比的等比數列．
（2）由（1）知a_n-2n=-3^n-1，即a_n=2n-3^n-1．
所以．
點評：本題是個中檔題，主要考查了由數列的遞推關系式求數列的通項，和數列求和的方法．體現了構造的思想方法．