Question

【題目】已知函數，，其中.

（1）當時，求的單調區間；

（2）證明：對任意的，在區間內均存在零點.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間是，；的單調遞減區間是.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由，令，解得或，解出不等式和，故而可得單調區間；（2）由（1）可知，當時，在內遞減，內單調遞增，進而分類討論：當，即時，在遞減，在遞增；當，即時，在內遞減，在內單調遞增．利用零點存在定理可證對任意，在區間內均存在零點.

試題解析：（1），令，解得或，

∵，∴，

當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	－	＋
	↗	↘	↗

所以，的單調遞增區間是，；的單調遞減區間是.

（2）證明：由（1）可知，在內的單調遞減，在內單調遞增，以下分兩種情況討論：

（ⅰ）當，即時，在內單調遞減，

，.

所以對任意，在區間內均存在零點.

（2）當，即時，在內單調遞減，在內單調遞增，若，，.

（也可由二次函數知識證明在上恒大于0）

所以在內存在零點.

若，，

（也可以利用求導的方法證明在上恒小于0）所以在內存在零點.

所以，對任意，在區間內均存在零點.

綜上，對任意，在區間內均存在零點，原不等式成立.