Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一等差數(shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，求{△a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是1，且滿足△a_n-a_n=2ⁿ，①證明：數(shù)列為等差數(shù)列；②求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)_n和a_n+1代入△a_n=a_n+1-a_n，進(jìn)而求得{△a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）①把△a_n=a_n+1-a_n代入△a_n-a_n=2ⁿ，等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，得，進(jìn)而證出數(shù)列為等差數(shù)列．
②通過S_n-2S_n即錯(cuò)位相減法，進(jìn)而求得和S_n
解答：解（1）依題△a_n=a_n+1-a_n，
∴，
（2）i）由△a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴，
∴．，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
ii）由i）得，
∴，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a_n=1•2+2•2¹++n•2^n-1，①
∴2S_n=1•2¹+2•2²++n•2ⁿ②
①-②得-S_n=1+2+2²++2^n-1-n•2ⁿ=，
∴S_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）•2ⁿ+1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列的公式多，繁雜，所以平時(shí)應(yīng)注意多積累．