Question

數列{a_n}滿足下列條件：a₁=1，且對于任意的正整數n，恒有a_2n=a_n+n，a₅₁₂=（　　）

• A、128
• B、256
• C、512
• D、1024

Answer 1

分析：直接由a_2n=a_n+n，可得a₅₁₂=a₂₅₆+256=a₂₅₆+2⁸=a₁₂₈+128+256=a₁₂₈+2⁷+2⁸=a₆₄+2⁶+2⁷+2⁸=…=a₂+2²+2³+…+2⁸=a₁+1+2¹+2²+…+2⁸=1+1+2¹+2²+…+2⁸，再代入等比數列的求和公式即可求得結論．

解答：解：因為對于任意的正整數n，恒有a_2n=a_n+n，
所以：a₅₁₂=a₂₅₆+256=a₂₅₆+2⁸
=a₁₂₈+128+256=a₁₂₈+2⁷+2⁸
=a₆₄+2⁶+2⁷+2⁸
=…
=a₂+2²+2³+…+2⁸
=a₁+1+2¹+2²+…+2⁸
=1+1+2¹+2²+…+2⁸
=1+

1-29

1-2

=512．
故選C．

點評：本題主要考查利用遞推關系求數列中的特定項，在做這一類型題目時，一定要找到遞推關系對應的規律，按規律解題．