Question

（2006•南京一模）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點．
（1）求AD和B₁C所成的角
（2）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的大小．（用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）利用正方體的性質AD∥BC，可知異面直線AD與B₁C所成的角為∠B₁CB或其補角．在Rt△BCB₁中求出即可；
（2）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接BF，EG，GF．
利用正方體的性質和線面垂直的判定定理可得BF⊥平面B₁CD．
利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理可得四邊形BFGE是平行四邊形，
再利用線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明平面EB₁D⊥平面B₁CD．
（3）連接EF，可得：FG⊥B₁C，EF⊥B₁C，因此∠EFG為二面角E-B₁C-D的平面角．
在Rt△EFG中求出即可．

解答：解：（1）正方體中，AD∥BC，∴AD與B₁C所成的角為∠B₁CB或其補角．
∵∠B₁CB=45°，∴AD和B₁C所成的角為45°．
（2）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接BF，EG，GF．
∵CD⊥平面BCC₁B₁，∴DC⊥BF．
又BF⊥B₁C，DC∩B₁C=C，∴BF⊥平面B₁CD．
∵GF

∥

.

1

2

CD，BE

∥

.

1

2

CD，
∴BE

∥

.

GF，
∴四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥CE．
∴EG⊥平面B₁CD．
又EG?平面EB₁D，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．
（3）連接EF．∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C．
又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C，∴∠EFG為二面角E-B₁C-D的平面角．
設正方形的邊長為a，則在中，GF=

1

2

a，EF=

3

3

a，
∴cos∠EFG=

GF

EF

=

3

3

．
∴二面角E-B₁C-D的大小為arccos

3

3

．

點評：熟練掌握正方體的性質、線面平行于垂直的判定定理和性質定理、面面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理、二面角的作法與求法、異面直線所成的角等是解題的關鍵．