Question

給定實數a,a≠0且a≠1,設函數Y=(其中x∈R且x≠),求證:

(1)經過這個函數圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸;

(2)這個函數的圖像關于直線Y=x成軸對稱.

Answer 1

證明:(1)設M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂)是函數圖像上任意兩個不同的點,則x₁≠x₂,假設直線M₁M₂平行于x軸,則必有y₁=y₂,即,?

整理,得a(x₁-x₂)=x₁-x₂.?

∵x₁≠x₂,∴a=1.∴這與已知a≠1矛盾,因此假設不成立,即直線M₁M₂不平行于x軸.?

(2)由y=得axy-y=1,即(ay-1)x=y-1,?

∴x=,?

即原函數y=的反函數為y=,圖像一致.?

由互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱可以得到,函數y=的圖像關于直線y=x成軸對稱.