Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分別為AB，CD的中點，AE的延長線交CB于F．現將△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，連接AF．
（I）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（II）當二面角A-CD-B為直二面角時，求直線AB與平面CBD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知，△ACD是正三角形，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，故CD⊥平面AEF，從而證明結論．
（II）AE⊥平面CBD，∠ABE就是直線AB與平面CBD所成的角，解直角三角形ABE，可求∠ABE的大小．
解答：（I）證明：在Rt△ABC中，D為AB的中點，
得AD=CD=DB，又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中點，得AE⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD?平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）

（II）解：∵二面角A-CD-B是直二面角，
且AE⊥CD，∴AE⊥平面CBD．（8分）
連接EB，AB，則∠ABE就是直線AB與
平面CBD所成的角．（9分）
設AC=a，在△CDB中，
，
∴，．
∴直線AB與平面CBD所成角的正切值為．（14分）
點評：證明2個平面垂直，關鍵在一個平面內找到一條直線和另一個平面垂直，求線面角，關鍵是找出線在平面內的射影．