Question

已知函數(shù)f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：求導函數(shù)f'（x）=2ln（1+x）-2x，構造新函數(shù)g（x）=2ln（1+x）-2x，確定g（x）在x=0處取得極大值，且g（0）=0，從而可得f'（x）≤0（當且僅當x=0時取等號），由此可求函數(shù)的最大值．

解答：解：由f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x得f'（x）=2ln（1+x）-2x，
令g（x）=2ln（1+x）-2x，則g′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，
當-1＜x＜0時，g'（x）＞0，g（x）在（-1，0）上為增函數(shù)；
當x＞0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
所以g（x）在x=0處取得極大值，且g（0）=0，
故f'（x）≤0（當且僅當x=0時取等號），
所以函數(shù)f（x）為[0，+∞）上的減函數(shù)，
則f（x）≤f（0）=0，即f（x）的最大值為0．

點評：本題主要考查復合函數(shù)求導等知識，考查函數(shù)的最值，考查運算求解、推理論證能力．