Question

已知各項為正的數列{a_n}的首項為a₁=2sinθ（θ為銳角），+a_n+1²=2，數列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求證：當x∈（0，）時，sinx＜x
（2）求a_n，并證明：若θ=，則a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整數m，使得b_n≥msinθ對任意正整數n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），則，由此能夠證明sinx＜x．
（2）由，得，由a₁=2sinθ，得==2sin，==2sin，猜想：．然后用數學歸納法證明．
（3）由，知===，由此能求出存在最大自然數m=8滿足條件．
解答：解：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），則，
故f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x．…（3分）
（2）由，得，
又a₁=2sinθ，
∴
=
=2sin，

=
=2sin，
猜想：．…（5分）
下面用數學歸納法證明：
①n=1時，a₁=2sinθ，成立，
②假設n=k時命題成立，即，則n=k+1時，

=
=
=2sin，
即n=k+1時命題成立．由①②知對n∈N*成立．…（8分）
由（1）知，n∈N*
故
=
=4θ．
因此時，a₁+a₂+…+a_n＜π．…（11分）
（3），
故
=
=
=，
{b_n}為遞增數列，因此要使b_n≥msinθ對任意正整數n恒成立，
只需b₁≥msinθ成立，而b₁≥8sinθ，因此m≤8，
故存在最大自然數m=8滿足條件．  …（14分）
點評：本題考查數列與三角函數的綜合應用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數知識和數學歸納法的靈活運用．