Question

（2013•蘭州一模）已知各項為正的數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），則a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=

-3

．

Answer 1

分析：根據對數的運算性質，結合題意算出a_n+1a_n=2ⁿ，從而證出{a_n}的奇數項、偶數項分別構成以2為公比的等比數列，由此結合等比數列的求和公式即可算出所求式子的值．

解答：解：∵log₂a_n+1+log₂a_n=n
∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ
由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得

an+2

an

=2
∴a₁、a₃、…a₂₀₁₃和a₂、a₄、…、a₂₀₁₂分別構成以2為公比的等比數列
則a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=

1-21007

1-2

=2¹⁰⁰⁷-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=

2(1-21006)

1-2

=2¹⁰⁰⁷-2
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸
=（2¹⁰⁰⁷-1）+（2¹⁰⁰⁷-2）-2¹⁰⁰⁸=2•2¹⁰⁰⁷-3-2¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸-3-2¹⁰⁰⁸=-3
故答案為：-3

點評：本題給出各項為正的數列{a_n}滿足的等式，求它的前2013項之和．著重考查了等比數列的通項與求和公式、對數的運算性質和數列遞推式的理解等知識，屬于中檔題．