Question

已知雙曲線4x²-y²=1及直線y=x+m．
（1）當m為何值時，直線與雙曲線有公共點？
（2）若直線被雙曲線截得的弦長為

2 14

3

，求直線的方程．

Answer 1

分析：（1）由

y=x+m 4x2-y2=1

，得：3x²-2mx-m²-1=0，利用根的判斷式得到不論m為何實數，直線與雙曲線都有公共點．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0的二實數根，由弦長公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

16m2+12

3

=

2 14

3

，由此能求出直線方程．

解答：解：（1）由

y=x+m 4x2-y2=1

消去y得：3x²-2mx-m²-1=0，…（*）
∵△=（-2m）²-4•3（-m²-1）=16m²+12
由于對于m∈R，△=16m²+1＞0恒成立，
不論m為何實數，直線與雙曲線都有公共點．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0，…（*）的二實數根，
∴x1+x2=

2m

3

，x1•x2=-

m2+1

3

由弦長公式得：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

16m2+12

3

=

2 14

3

，解之得：m=±1
故所求直線方程是：y=x±1．

點評：本題考查直線與雙曲線交點情況的判斷，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、直線方程、韋達定理、弦長公式等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答．