Question

已知雙曲線4x²-y²=1及直線y=x+m．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線與雙曲線有公共點(diǎn)？
（2）若直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．

Answer 1

解：（1）由消去y得：3x²-2mx-m²-1=0，…（*）
∵△=（-2m）²-4•3（-m²-1）=16m²+12
由于對(duì)于m∈R，△=16m²+1＞0恒成立，
不論m為何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線都有公共點(diǎn)．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0，…（*）的二實(shí)數(shù)根，
∴，
由弦長(zhǎng)公式得：，解之得：m=±1
故所求直線方程是：y=x±1．
分析：（1）由，得：3x²-2mx-m²-1=0，利用根的判斷式得到不論m為何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線都有公共點(diǎn)．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0的二實(shí)數(shù)根，由弦長(zhǎng)公式得，由此能求出直線方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線交點(diǎn)情況的判斷，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．