Question

我校某班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據此解答如下問題.

（1）求全班人數及分數在[80,90)之間的頻數；

（2）估計該班的平均分數，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；

（3）若要從分數在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數在[90,100]之間的概率.

Answer 1

解：（1）由莖葉圖知，分數在[50,60)之間的頻數為2，

頻率為0.008×10=0.08    全班人數=25

 所以分數在[80,90)之間的頻數為25-2-7-10-2=4…………3分

（2）分數在[50,60)之間的總分數為56+58=114

分數在[60,70)之間的總分數為60×7+2+3+3+5+6+8+9=456

分數在[70,80)之間的總分數為70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747

分數在[80,90)之間的總分數為85×4=340分數在[90,100]之間的總分數為95+98=193

所以，該班的平均分數為……………5分

估計平均分數時，以下解法也給分：

分數在[50,60)之間的頻率為=0.08分數在[60,70)之間的頻率為=0.28

分數在[70,80)之間的頻率為=0.40分數在[80,90)之間的頻率為=0.16

分數在[90,100]之間的頻率為=0.08所以該班的平均分數約為55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08                      =73.8

所以頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為÷10=0.016………………8分

（3）將[80,90)之間的4個分數編號為1,2,3,4，[90,100]之間的2個分數編號為5,6，

在[80,100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15個.

其中，至少有一份在[90,100]之間的基本事件有9個，故至少有一份分數在[90,100]之間的概率是=0.6…

                                                                              19（1）證明：依題意，知CA＝CC₁，又CD⊥AC₁，所以，D為AC₁的中點，

又F為CC₁的中點，所以，DF∥AC，而AC平面ABC，所以，DF∥平面ABC，

同理可證：EF∥平面ABC，又DFEF＝F，所以，平面DEF∥平面ABC；...(6分）。（2）設AB＝2，則DF＝1，EF＝2，∠DFE＝60°，由余弦定理，求得：DE＝，

又CD＝，CE＝，所以，CD²＋DE²＝CE²，所以，CD⊥DE，

又CD⊥AC₁，DE＝D，所以，CD⊥平面AEC₁。