Question

（本小題滿分14分）

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖6所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

（1）由得

當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，

過點(diǎn)的切線方程為，即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，即，

因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和．

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

以為直角的只有一個(gè)，

同理以為直角的只有一個(gè)；

若以為直角，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則坐標(biāo)分別為

由得，

關(guān)于的一元二次方程有一解，有二解，即以為直角的有二個(gè)；

因此拋物線上共存在4個(gè)點(diǎn)使為直角三角形．

解析:

考查橢圓的、拋物線的方程，圖形及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，運(yùn)算能力，分析、解決問題的能力.