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記（1+ $數學公式$ ）（1+ $數學公式$ ）…（1+ $數學公式$ ）的展開式中，x的系數為a_n，x²的系數為b_n，其中 n∈N^．
（1）求a_n；
（2）是否存在常數p，q（p＜q），使b_n= $數學公式$ （1+ $數學公式$ ）（1+ $數學公式$ ）對n∈N，n≥2恒成立？證明你的結論．

解：（1）根據多項式乘法運算法則，得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）計算得b₂= $\text{[math]}$ ，b₃= $\text{[math]}$ ．
代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用數學歸納法證明b_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （n≥2）：
①當n=2時，b₂= $\text{[math]}$ ，結論成立．
②設n=k時成立，即b_k= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
則當n=k+1時，b_k+1=b_k+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
由①②可得結論成立．　　　 …（10分）
分析：（1）根據多項式乘法運算法則，可得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，利用等比數列的求和公式，可得結論；
（2）先計算b₂，b₃的值，代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1，再用數學歸納法證明．
點評：本題考查展開式的系數，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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