Question

已知函數，.
（1）求函數的單調區間；
（2）如果對于任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

（1）在和上單調遞減，在上單調遞增；（2）

試題分析：（1）先求導，根據可得的值。將的值代入導數解析式并將導數變形分解因式，討論導數的正負，導數大于0得增區間，導數小于0得減區間。（2）將變形為（注意所以不等式兩邊同除以時不等號應改變）。設.將問題轉化為時恒成立問題，即。將函數求導，分析討論導數的正負，從而判斷函數的單調性，根據單調性求其最值。
解：（1） 因為，                                        1分
因為，
所以.                                                    2分
所以.
令，解得.                                   3分
隨著的變化，和的變化情況如下：

即在和上單調遞減，在上單調遞增.         6分
（2） 因為對于任意的，都有，
即，
所以.                                      8分
設.
因為，                                     9分
又因為，
所以.                                         10分
所以.                                            
所以在上單調遞增.                                 11分
所以.                                      12分
即.                                                     13分