Question

【題目】已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函數f（x）=logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；
（2）解不等式 ；
（3）求函數g（x）=|logax﹣1|的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵loga3＞loga2，∴a＞1，

又∵y=logax在[a，2a]上為增函數，

∴loga（2a）﹣logaa=1，∴a=2

（2）解：依題意可知 解得 ，

∴所求不等式的解集為 ．

（3）解：∵g（x）=|log2x﹣1|，

∴g（x）≥0，當且僅當x=2時，g（x）=0，

則

∴函數在（0，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數，

g（x）的減函數為（0，2），增區間為（2，+∞）．

【解析】（1）根據對數函數的性質求出a的范圍，根據函數的單調性得到loga（2a）﹣logaa=1，求出a的值即可；（2）根據函數的單調性得到關于x的不等式組，解出即可；（3）通過討論x的范圍，求出函數的單調區間即可．