Question

（本小題滿分22分）

設A、B分別為橢圓 和雙曲線的公共的左、右頂點。P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且滿足 。設直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄.

（1）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0；

（2）設 F₁、F₂分別為橢圓和雙曲線的右焦點。若，求的值。

Answer 1

解析：(1)設P、Q兩點的坐標分別為P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則 

   k₁+k₂=  ①……………(4分)

 同理可得意k₃+k₄=    ②     …………………………(7分)

   設O為原點，則，

所以，O，P，Q三點共線，于是得．

由①②得 k_l+k₂+k₃+k₄=0； ………………………………………(11分)

(2) 由點Q在橢圓上，有=1．   

由 ，得(x_l，y₁)=(x₂，y₂)．

所以  x₂=x _l，y₂=y _l，從而=²    ③

又由點P在雙曲線上，有=1    ④   

由③④得  ……………………(15分)

因為PF₂∥QF₁，所以| OF₂|=|OF₁| ，所以

………………………………(18分)

由①得  ．同理可得  ．另一方面，

k_lk₂=．類似地，k₃k₄=．

故－2(k_lk₂+k₃k₄)=8 …(22分)