Question

設z1是虛數，z2=z1+

1

z1

是實數，且-1≤z2≤1
（1）求|z₁|的值以及z₁的實部的取值范圍；
（2）若ω=

1-z1

1+z1

，求證：ω為純虛數．

Answer 1

分析：（1）設出復數，根據兩個復數之間的關系，寫出z₂的表示式，根據這是一個實數，得到這個復數，根據條件中所給的取值范圍，得到要求的a的取值．
（2）根據上一問設出的復數，表示出ω，進行復數除法的運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理變化，得到最簡形式，得到這是一個純虛數．

解答：解：（1）設z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
則z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i
∵z₂是實數，b≠0，
∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，
∴可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的實部的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-z1

1+z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=-

b

a+1

i
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω為純虛數．

點評：本題考查復數的加減乘除運算，是一個綜合題，解題時的運算量比較大，又用到復數的有關概念，注意解題時的格式．