Question

已知函數f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)．
（1）討論f（x）的單調性及極值；
（2）設0＜a≤

2

，證明：對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，|f(x1)-f(x2)|≥a|x_-x2|．

Answer 1

分析：（1）借助于導數，討論參數，得到函數的單調區間和極值；
（2）借助于（1）的單調區間可知函數在（0，

a

2

）的單調性，構建新函數，再借助其導數，判斷新函數的單調性，即得證．

解答：解：（1）由f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

①當a≤0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值；
②當a＞0時，若0＜x＜a，f^′（x）＜0，故函數f（x）在（0，a）上單調遞減，
若x＞a，f′（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上單調遞增，
所以極小值f（a）=1+lna，無極大值．
（2）證明：不妨設x₁≥x₂，而0＜a≤

2

，由（1）知f（x）在（0，

a

2

）的單調遞減，
故對任意x1，x2∈(0，

a

2

)，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|等價于：
對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，f(x2)-f(x1)≥a(x1-x2)
即f（x₁）+ax₁≤f（x₂）+ax₂
令g（x）=f（x）+ax，則g′(x)=

ax2+x-a

x2

，
令h（x）=ax²+x-a，∵0＜a≤

2

，
∴h（0）=-a＜0，h(

a

2

)=

a3

4

+

a

2

-a=

a(a2-2)

4

≤0，
則g′(x)＜0(0＜x＜

a

2

)，故g（x）在（0，

a

2

）上單調遞減，
又由x₁≥x₂，∴g（x₂）≥g（x₁），即f（x₂）+ax₂≥f（x₁）+ax₁
∴對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．