Question

（2012•昌平區二模）某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽．比賽規則是：每位選手可以選擇在A區射擊3次或選擇在B區射擊2次，在A區每射中一次得3分，射不中得0分； 在B區每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A區和B區每次射中移動靶的概率分別是

1

4

和p（0＜p＜1）．
（Ⅰ） 若選手甲在A區射擊，求選手甲至少得3分的概率；
（Ⅱ） 我們把在A、B兩區射擊得分的數學期望高者作為選擇射擊區的標準，如果選手甲最終選擇了在B區射擊，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設“選手甲在A區射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區射擊至少得（3分）”為事件N，由事件M與事件N為對立事件，能求出選手甲至少得3分的概率．
（Ⅱ） 設選手甲在A區射擊的得分為ξ，則ξ的可能取值為0，3，6，9．分別求出期概率，由此能求出ξ的數學期望．設選手甲在B區射擊的得分為η，則η的可能取值為0，2，4．分別求出其概率，由此能求出η的數學期望，由此能夠求出p的取值范圍．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設“選手甲在A區射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區射擊至少得（3分）”為事件N，
則事件M與事件N為對立事件，
P(M)=

C

0 3

•(

1

4

)0•(1-

1

4

)3=

27

64

…（2分）
P(N)=1-P(M)=1-

27

64

=

37

64

…（4分）
（Ⅱ） 設選手甲在A區射擊的得分為ξ，
則ξ的可能取值為0，3，6，9.P(ξ=0)=(1-

1

4

)3=

27

64

；
P(ξ=3)=

C

1 3

•

1

4

•(1-

1

4

)2=

27

64

；
P(ξ=6)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)=

9

64

；
 P(ξ=9)=(

1

4

)3=

1

64

ξ	0	3	6	9
P	27 64	27 64	9 64	1 64

所以ξ的分布列為∴Eξ=0×

27

64

+3×

27

64

+6×

9

64

+9×

1

64

=

9

4

設選手甲在B區射擊的得分為η，
則η的可能取值為0，2，4．P（η=0）=（1-p）²；
P(η=2)=

C

1 2

•p•(1-p)=2p(1-p)；
P（η=4）=p²
所以η的分布列為

η	0	2	4
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

∴Eη=0×（1-p）²+2•2p（1-p）+4•p²=4p
根據題意，有  Eη＞Eξ，
∴4p＞

9

4

，
∴

9

16

＜p＜1…（13分）

點評：本題考查離散隨機變量的概率分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認真審題，注意排列組合知識和概率知識的靈活運用．