Question

（2012•洛陽模擬）已知函數f(x)=x2-ax+ln(

1

2

ax+

1

2

)(a＞0)．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的a∈(1，2)，當x0∈[1，2]時，都有f(x0)＞m(1-a2)，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，求出f（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）對任意的a∈（1，2），當x₀∈[1，2]時，都有f（x₀）＞m（1-a²），等價于f（x₀）_min＞m（1-a²），用導數可求f（x₀）_min，構造函數g（a）=f（x₀）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），問題轉化為g（a）_min＞0（1＜a＜2），分類討論可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x2-2x+ln(x+

1

2

)，定義域為（-

1

2

，+∞）．
f′（x）=2x-2+

1

x+ 1 2

=2x-2+

2

2x+1

=

2x(2x-1)

2x+1

．
由f′（x）＞0，得-

1

2

＜x＜0，或x＞

1

2

；由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

．
所以函數f（x）的單調遞增區間為（-

1

2

，0），（

1

2

，+∞），單調遞減區間為（0，

1

2

）．
（2）y=f（x）的定義域為（-

1

a

，+∞）．
f′（x）=2x-a+

1 2 a

1 2 ax+ 1 2

=2x-a+

a

ax+1

=

2ax2-(a2-2)x

ax+1

=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

．
當1＜a＜2時，

a2-2

2a

-1=

a2-2a-2

2a

=

(a-1)2-3

2a

＜0，即

a2-2

2a

＜1，
所以當1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上單調遞增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1-a+ln（

1

2

a+

1

2

）．
依題意，對任意的a∈（1，2），當x₀∈[1，2]時，都有f（x₀）＞m（1-a²），
即可轉化為對任意的a∈（1，2），1-a+ln（

1

2

a+

1

2

）-m（1-a²）＞0恒成立．
設g（a）=1-a+ln（

1

2

a+

1

2

）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
則g′（a）=-1+

1

a+1

+2ma=

2ma2+(2m-1)a

a+1

=

a[2ma-(1-2m)]

a+1

，
①當m≤0時，2ma-（1-2m）＜0，且

a

a+1

＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上單調遞減，且g（1）=0，則g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾．
②當m＞0時，g′（a）=

2ma

a+1

(a-

1-2m

2m

)，
若

1-2m

2m

≥2，則g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上單調遞減，且g（1）=0，g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾；
若1＜

1-2m

2m

＜2，則g（a）在（1，

1-2m

2m

）上單調遞減，在（

1-2m

2m

，2）上單調遞增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0矛盾；
若

1-2m

2m

≤1，則g（a）在（1，2）上單調遞增，且g（1）=0，
則恒有g（a）＞g（1）=0，所以

m＞0 1-2m 2m ≤1

，解得m≥

1

4

，所以m的取值范圍為[

1

4

，+∞）．

點評：本題考查綜合運用導數求函數的單調區間、最值及函數恒成立問題，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想的運用．