Question

已知c＞0，設P：函數y=c^x在R上單調遞減，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R．如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：函數y=c^x在R上單調遞減，推出c的范圍，不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，推出x+|x-2c|的最小值大于1，P和Q有且僅有一個正確，然后求出c的取值范圍．

解答：解：函數y=c^x在R上單調遞減?0＜c＜1．
不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?函數y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
∵x+|x-2c|=

2x-2c     x≥2c 2c            x＜2c

∴函數y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c．
∴不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?2c＞1?c＞

1

2

．
如果P正確，且Q不正確，則0＜c≤

1

2

．
如果P不正確，且Q正確，則c≥1．
∴c的取值范圍為（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，指數函數單調性的應用，是中檔題．