Question

已知c＞0，設p：函數y=c^x在R上單調遞減； Q：x+|x-2c|＞1不等式的解集為R．如果p和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍

(0，

1

2

]∪[1，+∞)

．

Answer 1

分析：函數y=c^x在R上單調遞減，可結合指數函數的單調性推出c的范圍，由不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，可得x+|x-2c|的最小值大于1，而P和Q有且僅有一個正確，分兩種情況討論，然后求出c的取值范圍．

解答：解：∵函數y=c^x在R上單調遞減
∴0＜c＜1
即P：0＜c＜1
∵x+|x-2c|＞1不等式的解集為R．∴函數y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
而x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

可知x+|x-2c|的最小值為2c，則根據題意可得，2c＞1
即Q：c＞

1

2

∵p和Q有且僅有一個正確
①若P正確，Q錯誤，則

0＜c＜1 0＜c≤ 1 2

，則0＜c≤

1

2

②若P錯誤，Q正確，則

c≥1 c＞ 1 2

，則c≥1
綜上可得，0＜c≤

1

2

或c≥1
故答案為：（0，

1

2

]∪[1，+∞）

點評：本題考查絕對值不等式的解法及函數的恒成立問題的求解，要注意與函數最值的相互轉化，指數函數單調性的應用，是中檔題．