Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設b_n=-，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：-≤T_n＜-．

Answer 1

（I）解：由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²
兩邊同時取對數得：lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3）
∴數列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5為首項以2為公比的等比數列
∴lg（a_n+3）=lg5•2^n-1
∴a_n=-3 …（4分）
（II）證明：∵a_n²+6a_n=a_n+1-6，
∴b_n=- …（6分）
∴T_n=-+…+-=-=-- …（9分）
∵n≥1，∴2ⁿ≥2，∴≥25
∴-9≥16，∴0＜≤
∴-≤-＜0，
∴-≤--＜-
∴-≤T_n＜- …（12分）
分析：（I）確定數列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5為首項，以2為公比的等比數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（II）確定數列的通項，再求和，從而可得結論．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查等比數列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．