Question

試求過點P（3，5）且與曲線y=x²相切的直線方程．

Answer 1

分析：欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在切點（x₀，x₀²）處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后結合切線過點P（3，5）即可求出切點坐標，從而問題解決．

解答：解：y′=2x，過其上一點（x₀，x₀²）的切線方程為
y-x₀²=2x₀（x-x₀），
∵所求切線過P（3，5），
∴5-x₀²=2x₀（3-x₀），解之得x₀=1或x₀=5．
從而切點A的坐標為（1，1）或（5，25）．
當切點為（1，1）時，切線斜率k₁=2x₀=2；
當切點為（5，25）時，切線斜率k₂=2x₀=10．
∴所求的切線有兩條，方程分別為y-1=2（x-1）和y-25=10（x-5），
即y=2x-1和y=10x-25．

點評：本小題主要考查導數的概念、導數的幾何意義和利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，考查運算求解能力．屬于基礎題．