Question

【題目】已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x） ．
（Ⅰ）若 ，求實數x的值；
（Ⅱ）當| |取最小值時，求 與 的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設 =（m，n），
∴ ，
解得 或 ，
當 =（﹣1，2）時，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣1，2）=（4x﹣1，2﹣3x），
∵ ，
∴3（4x﹣1）﹣（2﹣3x）=0，
解得x= ，
當 =（﹣2，﹣1）時，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣2，﹣1）=（5x﹣2，﹣1），
∵ ，
∴3（5x﹣2）+1=0，
解得x= ，
（Ⅱ）設 與 的夾角θ
由（Ⅰ）可知，當 =（﹣1，2）時， =（4x﹣1，2﹣3x），
則| |2=（4x﹣1）2+（2﹣3x）2=25x2﹣20x+5=25（x﹣ ）2+1，
當x= 時，| |取最小值，則| |=1， =（ ， ），
∴ =﹣ + =1，| |=
∴cosθ= =
當 =（﹣2，﹣1）時， =（5x﹣2，﹣1），
則| |2=（5x﹣2）2+（﹣1）2=25（x﹣ ）2+1，
當x= 時，| |取最小值，則| |=1， =（0，﹣1），
∴ =1，| |=
∴cosθ= =
【解析】（Ⅰ）根據向量的數量積和向量的模，先求出 ，再根據向量的垂直即可求出x的值，（Ⅱ）根據二次函數的性質即可求出x的值，再根據向量的夾角公式即可求出．