Question

(本小題滿分12分)

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面為矩形，O­₁，O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O，AB = 8，BC = AA₁ = 6．

求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；

若點E、F分別在棱AA₁、BC上，且AE = 2EA₁，問點F在何處時EF⊥AD；

在 (2) 的條件下，求F到平面CC₁O₁距離．

Answer 1

(1) 證明：∵ A₁O₁OC         

∴ A₁OCO₁為平行四邊形    

∴ A₁O∥O₁C       2分

∵ A₁O⊥平面ABCD

∴ O₁C⊥平面ABCD   3分

∴平面O₁DC⊥平面ABCD  4分

(2) 解：在AO上取點G，使AG = 2GO，則EG∥A₁O

∴ EG⊥平面ABCD

∴ 當且僅當FG⊥AD時，EF⊥AD

∴ FG∥AB

∵ CG = 2AG

∴ CF = 2BF

即當CF = 2FB時，結論成立． 7分

(3) 解：作FH⊥AC

∵ CO₁⊥平面ABCD

∴ 平面C₁O₁C⊥平面ABCD

∴ FH⊥面C₁O₁C

∵ △FCH∽△ACB

∴

而AC = 10，CF = 4    ∴

∴ F到平面CC₁O₁的距離為  12分