Question

已知函數f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（Ⅱ） 設x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；
（Ⅲ） 設a＜b，比較

f(a)+f(b)

2

，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函數的反函數，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（Ⅱ） 利用導數求函數的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；
（Ⅲ）利用作差法比較兩個數的大�。�

解答：解：（Ⅰ） 函數f（x）的反函數為g（x）=lnx，設y=kx+1與g（x）相切于點P（x₀，y₀），
則

kx0+1=lnx0 k=g′(x0)= 1 x0

，解得x0=e2，k=e-2，所以k=e^-2．
（Ⅱ）當x＞0，m＞0時，曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數，即f（x）=mx²根的個數．
即m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，則h'（x）=

ex(x-2)

x3

，
當0＜x＜2時，h'（x）＜0，此時函數單調遞減，
當x＞2時，h'（x）＞0，此時函數單調遞增，所以當x=2時，函數h（x）取得極小值同時也是最小值h（2）=

e2

4

．
當0＜m＜

e2

4

．時，有0個公共點，
當m=

e2

4

時，有1個公共點，
當m＞

e2

4

時，有2個公共點．
（Ⅲ）設

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x，x＞0，則g'（x）=1+（1+x-2）e^x=1+（x-1）e^x，
函數g'（x）的導函數[g'（x）]'=（1+x-1）e^x=xe^x＞0，
所以g'（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g'（0）=0，
因此g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g（0）=0，
所以在（0，+∞）上，g（x）＞0，
因為當x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）e^x＞0，且a＜b，
所以

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea＞0，
即當a＜b，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，以及利用導數證明不等式，綜合性較強，運算量較大．