Question

14．△ABC的頂點A（5，0），B（-5，0），△ABC的周長為22，則頂點C的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{11}=1$
• C． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1（{y≠0}）$
• D． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1（{y≠0}）$

Answer 1

分析 首先根據△ABC的周長是22，且A（5，0），B（-5，0），進一步確定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判斷頂點C的軌跡是以A（0，-5），B（0，5）為焦點以原點為中心，x軸和y軸為對稱軸的橢圓．進一步根據a、b、c的關系求出橢圓的方程．

解答 解：已知△ABC的周長是22，且A（5，0），B（-5，0），
則|AB|=10，|AC|+|BC|=12＞|AB|=10
所以△ABC的頂點C的軌跡是以A（5，0），B（-5，0）為焦點，
以原點為中心，以x軸和y軸為對稱軸的橢圓．
橢圓方程設為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）
令|AC|+|BC|=12=2a
解得：a=6，
令|AB|=10=2c
解得：c=5
進一步解得：b²=a²-c²=36-25=11
求得△ABC的頂點C的軌跡方程為：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1（{y≠0}）$．
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：橢圓的定義，橢圓的方程及相關的運算問題．