Question

若x，y＞0，且x+y＞2，則

1+y

x

和

1+x

y

中至少有一個小于2．

Answer 1

分析：本題證明結論中結構較復雜，而其否定結構簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結論成立．

解答：證明：用反證法．
假設

1+x

y

與

1+y

2

都大于或等于2，
即

1+x y ≥2 1+y x ≥2

，
∵x，y∈R⁺
∴

1+x≥2y 1+y≥2x

兩式相加，得x+y≤2，
與已知x+y＞2矛盾．
所以假設不成立，即原命題成立．

點評：本題考查反證法證明命題，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．
對于有些題如本題，用反證法證明可以大大降低題目的解決難度．