Question

已知拋物線y²=4x，焦點為F，頂點為O，點P在拋物線上移動，Q是OP的中點．
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若傾斜角為60°且過點F的直線交Q的軌跡于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（1）設Q（x，y），根據Q是OP中點，可得P（2x，2y），利用點P在拋物線y²=4x上，即可得到點Q的軌跡方程；
（2）設出直線AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0，利用韋達定理，可計算弦長|AB|．

解答：解：（1）設Q（x，y），∵Q是OP中點，∴P（2x，2y）
又∵點P在拋物線y²=4x上
∴（2y）²=4×2x，即y²=2x為點Q的軌跡方程
（2）∵F（1，0），kAB=

3

，∴直線AB的方程為：y=

3

(x-1)
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0
∴x1+x2=

8

3

，x1x2=1
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 7

3

點評：本題考查求軌跡方程，考查弦長的計算，解題的關鍵是掌握代入法求軌跡方程，將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求解．