Question

某地有三個村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個頂點處，已知AB=AC=6km，現計劃在BC邊的高AO上一點P處建造一個變電站．記P到三個村莊的距離之和為y．
（1）設∠PBO=α，把y表示成α的函數關系式；
（2）變電站建于何處時，它到三個小區的距離之和最小？

Answer 1

分析：（1）解實際應用題的關鍵是讀懂題意，根據所給的條件知在三角形中表示出點到三個村莊的距離，表示出函數y的關系式．
（2）由題意知本題是一個求函數最小值的問題，這種類型的函數唯一的處理方式是通過導數來解題，對函數式求導，令導函數等于零，驗證導函數等于零的左右兩邊導數的符合，得到最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=OA=3

2

．
∴∠ABC=

π

4

由題意知0≤α≤

π

4

．
∴點P到A、B、C的距離之和為
y=2PB+PA=2×

3 2

cosα

+(3

2

-3

2

tanα)=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

．
∴所求函數關系式為y=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

(0≤α≤

π

4

)．

（2）由（1）得y′=3

2

×

2sinα-1

cos2α

，
令y′=0即sinα=

1

2

，
又0≤α≤

π

4

，從而α=

π

6

當0≤α＜

π

6

時，y′＜0；當

π

6

＜α≤

π

4

時，y′＞0．
∴當α=

π

6

時，y=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

取得最小值，
此時OP=3

2

tan

π

6

=

6

（km），即點P在OA上距O點

6

km處．
即變電站建于距O點

6

km處時，它到三個小區的距離之和最小．

點評：本題是一個三角函數同函數結合的問題，解題過程中用到三角函數和函數的思想，是一個中檔題目，高考時出上此題，不易得分，解題的關鍵是運算，要過運算這一關．