Question

如圖，過原點的直線AB與函數y=log₄x的圖象交于A、B兩點，過A、B分別作x軸的垂線與函數y=log₂x的圖象分別交于C、D兩點，若線段BD平行于x軸，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A．1
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設出A、B的坐標，解出C、D的坐標，求出OC、OD的斜率相等利用三點共線得出A、B的坐標之間的關系．再根據BD平行x軸，B、D縱坐標相等，推出橫坐標的關系，結合之前得出A、B的坐標之間的關系即可求出A的坐標，最后利用梯形的面積公式求解即可．

解答：解：設點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂，
由題設知，x₁＞1，x₂＞1．
則點A、B縱坐標分別為log₄x₁、log₄x₂．
∵A、B在過點O的直線上，
∴

log4x1

x1

=

log4x2

x2

，
點D、C坐標分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BD平行于x軸知log₂x₁=log₄x₂，
即得log₂x₁=

1

2

log₂x₂，
∴x₂=x₁²．
代入x₂log₄x₁=x₁log₄x₂得x₁²log₄x₁=2x₁log₄x₁．
由于x₁＞1知log₄x₁≠0，
∴x₁²=2x₁．
考慮x₁＞1解得x₁=2．
于是點A的坐標為（2，log₄2），即A（2，

1

2

），
∴B（4，1），C（4，2），D（2，1）．，
∴梯形ABCD的面積為S=

1

2

（AD+BC）×BD=

1

2

•（

1

2

+1）×2=

3

2

．
故選D．

點評：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查運算能力和分析問題的能力．