Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的頂點為A₁、A₂、B₁、B₂，焦點為F₁，
F₂，|A1B1|=

7

，
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
（1）求橢圓C的方程；
（2）設l是過原點的直線，直線n與l垂直相交于P點，且n與橢圓相交于A，B兩點，|OP|=1，求

AP

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由|A₁B₁|=

7

，知a²+b²=7，由SA1B1A2 B2=2SB1F1B2F2，知a=2c，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線n的斜率不存在時，由對稱性取P（1，0），A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），則

AP

•

PB

= 

9

2

．當直線n的斜率存在時，令AB：y=kx+m，由|OP|=1，知m²=1+k²，

AP

•

PB

=(

OP

-

OA

)•(

OB

-

OP

)=1-

OA

•

OB

．聯立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，再利用韋達定理進行運算能夠求出

AP

•

PB

的取值范圍．

解答：解：（1）由|A₁B₁|=

7

，知a²+b²=7，①
由SA1B1A2 B2=2SB1F1B2F2，知a=2c，②
又b²=a²-c²，③
由①②③解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線n的斜率不存在時，由對稱性取P（1，0），A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），
則

AP

•

PB

= 

9

2

．
當直線n的斜率存在時，令AB：y=kx+m，
∵|OP|=1，∴

|m|

1+k2

=1，即m²=1+k²，
∵|OP|=1，∴

AP

•

PB

=(

OP

-

OA

)•(

OB

-

OP

)=1-

OA

•

OB

．
聯立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

，（*）
∴

OA

•

OB

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
將（*）代入并化簡得

OA

•

OB

=

-5m2

4m2-1

，
∴

AP

•

PB

=1+

5

4- 1 m2

，
由1+k²=m²，得m²≥1，∴0＜

1

m2

≤1，∴

9

4

＜

AP

•

PB

≤

8

3

，
綜上所述，

AP

•

PB

的取值范圍是（

9

4

，

8

3

]．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．