Question

設f（z）=2z（cos

π

6

+icos

2π

3

），這里z是復數，用A表示原點，B表示f （1+

3

i）所對應的點，C表示點-4i所對應的點，則∠ABC=

30°

．

Answer 1

分析：先求得f （1+

3

i）=2

3

+2i，可得點B（2

3

，2）．再由點A和點C的坐標，可得

BA

和

BC

的坐標、模、以及 

BA

•

BC

 的值，再根據 cos＜

BA

，

BC

＞=

BA • BC

| BA |•| BC |

求得＜

BA

，

BC

＞的值，可得∠ABC的值．

解答：解：∵f（z）=2z（cos

π

6

+icos

2π

3

）=2z（

3

2

-

1

2

i），
∴f （1+

3

i）=2（1+

3

i）•（

3

2

-

1

2

i）=2

3

+2i，故點B（2

3

，2）．
再由點A（0，0），點C（0，-4），可得

BA

=（-2

3

，-2），

BC

=（-2

3

，-6），
∴

BA

•

BC

=12+12=24，|

BA

|=4，|

BC

|=4

3

，∴cos＜

BA

，

BC

＞=

BA • BC

| BA |•| BC |

=

3

2

，
∴＜

BA

，

BC

＞=30°，故∠ABC=30°，
故答案為 30°

點評：本題主要考查復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，兩個向量的夾角公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．