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已知橢圓,直線Pl上點,射線OP交橢圓于點R,又點QOP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2,當點Pl上移動時,求點Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

 

答案:
解析:

解法一:由題設知點Q不在原點.設P、R、Q的坐標分別為(xPyP),(xR,yR),(xy),其中x,y不同時為零.

當點P不在y軸上時,由于點R在橢圓上及點OQ、R共線,得方程組

解得

  
     

  

 

  

 

  

     
 

由于點P在直線l上及點O、Q、P共線,得方程組

  
     

  

 

  

 

  

     
 
解得

當點Py軸上時,經驗證①-④式也成立.

由題設|OQ|·|OP|=|OR|2,得

將①-④代入上式,化簡整理得

xxp同號或y同號,以及③、④知2x+3y>0,故點Q的軌跡方程為

(其中xy不同時為零).

所以點Q的軌跡是以(1,1)為中心,長、短半軸分別為且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點.

解法二:由題設知點Q不在原點.設P,RQ的坐標分別為(xp,yp),(xRyR),(x,y),其中x,y不同時為零.

OPx軸正方向的夾角為α,則有

    xp=|OP|cosαyp=|OP|sinα;

    xR=|OR|cosαyR=|OR|sinα

x=|OQ|cosαy=|OQ|sinα

由上式及題設|OQ|·|OP|=|OR|2,得

  
     

  

 

  

 

  

  

 

  

 

  

  

 

  

 

  

     
 

由點P在直線l上,點R在橢圓上,得方程組

,    ⑤

,    ⑥

將①,②,③,④代入⑤,⑥,整理得點Q的軌跡方程為

(其中x,y不同時為零).

所以點Q的軌跡是以(1,1)為中心,長、短半軸分別為且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點.

 


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