Question

已知橢圓，直線．P是l上點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|²，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題設知點Q不在原點．設P、R、Q的坐標分別為(xP，yP)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同時為零． 當點P不在y軸上時，由于點R在橢圓上及點O、Q、R共線，得方程組 解得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　 　　   由于點P在直線l上及點O、Q、P共線，得方程組 　　 　　 　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   解得 當點P在y軸上時，經驗證①－④式也成立． 由題設|OQ|·|OP|=|OR|2，得 將①－④代入上式，化簡整理得 因x與xp同號或y與同號，以及③、④知2x+3y>0，故點Q的軌跡方程為 (其中x，y不同時為零)． 所以點Q的軌跡是以(1，1)為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點． 解法二：由題設知點Q不在原點．設P，R，Q的坐標分別為(xp，yp)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同時為零． 設OP與x軸正方向的夾角為α，則有     xp=|OP|cosα，yp=|OP|sinα；     xR=|OR|cosα，yR=|OR|sinα； x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα； 由上式及題設|OQ|·|OP|=|OR|2，得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　   　　   　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   由點P在直線l上，點R在橢圓上，得方程組 ，    ⑤ ，    ⑥ 將①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得點Q的軌跡方程為 (其中x，y不同時為零)． 所以點Q的軌跡是以(1，1)為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點．